Электродинамика

Потенциал электростатического поля

Используя потенциальность электростатического поля, введём определение разности потенциалов: разность потенциалов  между двумя точками электростатического поля равна взятой с обратным знаком работе, совершаемой полем при перемещении единичного положительного заряда из первой точки во вторую: . Если эти точки находятся на бесконечно близком расстоянии , то, , а разность потенциалов между точками 1 и 2 на конечном расстоянии  или

Потенциал точки 2 определён неоднозначно, так как работа измеряет только разность потенциалов, а не абсолютные величины каждого потенциала. Выберем точку 1 так, чтобы её потенциал был равен нулю - для этого в качестве такой точки возьмём бесконечно удалённую точку , тогда . Таким образом, потенциал произвольной точки поля равен

работе, совершаемой силами поля при перемещении единичного положительного заряда из данной точки поля в бесконечность. При этих условиях потенциал   точечного заряда  равен , где - расстояние от заряда до рассматриваемой точки поля. Потенциал поля произвольной системы точечных зарядов равен сумме потенциалов полей каждого из этих зарядов в отдельности: , где - расстояние точки поля с потенциалом  от заряда . В случае поверхностных зарядов потенциал

, а в случае объемных зарядов потенциал , где  и  - соответственно плотность поверхностных и объёмных зарядов,  - расстояние точки поля, обладающей потенциалом , от элемента поверхности  и объёма  соответственно.

Формулы для потенциалов поверхностных и объёмных зарядов получены с использованием формулы для потенциала точечных зарядов. Так, в случае поверхностных зарядов заряд каждой поверхности может быть разложен на совокупность элементарных зарядов бесконечно малых элементов поверхности . Тогда, заменяя в формуле для потенциала точечных зарядов  через , и переходя к интегрированию, получим формулу для потенциала поверхностных зарядов. Аналогично выводится и формула для потенциала объёмных зарядов (в этом случае роль элементарных зарядов играют заряды ).

2.3.1.3. Связь вектора  и потенциала

Из формул  следует, что . Это частный случай связи  и . В математической теории поля показано, что в общем случае связь между  и   определена как (см. Гидромеханику) или

Мы знаем, что с математическими выражениями можно проводить различные математические операции, приводящие к новым выражениям, формулам, соотношениям, с помощью которых можно углублять знания, получать новые методы расчётов или возможность экспериментального подтверждения. С этой целью подвергнем формулу связи   и  математическим операциям, а именно: возьмём дивергенцию от обеих частей формулы: . Левая часть формулы  (см. ранее). Выражение для правой части находим в справочнике:

.

Таким образом, в результате формального применения математических операций к выражению  получаем дифференциальное уравнение - оно носит название уравнение Пуассона. В тех областях, где , уравнение имеет вид  и носит название уравнение Лапласа. Использование этих уравнений позволяет расширить класс задач, решаемых в электростатике, однако при этом используются сложные математические операции и специальные приёмы, выходящие за рамки курса общей физики. В рамках курса общей физики эти уравнения используются в самых простых случаях, имеющих демонстрационный характер (см. далее).

Лабораторная работа по физике