Электродинамика

Работа электрических сил

 

Пусть заряд  перемещается из точки 1 в точку 2 в поле заряда . Поскольку перемещение заряда  происходит под действием силы, то совершается работа. Величина этой работы , где  - элементарная работа на -участке и  (рис 1.). Как видно из рисунка и поэтому . Переводя  в математическую модель, получим

.

Из выражения для работы следует, что

1. Работа кулоновских сил не зависит от формы пути, а определяется только положением начальной и конечной точек, т.е. кулоновские силы – силы потенциальные.

2. Если ввести в рассмотрение вектор напряжённости электрического поля , то выражение для работы можно записать как , где  - тангенциальная составляющая вектора  и можно утверждать, что электростатическое поле является полем потенциальным - работа, произведённая электростатическим полем, не зависит от формы пути.

Для единичного положительного заряда работа по замкнутому контуру равна нулю: , а сама величина  совпадает с выражением циркуляции вектора  (рис. 2). Из этого условия следует непрерывность тангенциальных слагающих напряжённости поля .

Данное интегральное уравнение может быть приведено к дифференциальному виду. Дифференциальность уравнения означает, что замкнутый контур должен описывать бесконечно малую площадь  стягивающуюся в точку . Поэтому для перехода к дифференциальному виду надо разделить левую и правую часть на  и взять предел  (рис. 3). В математической теории поля доказывается, что этот предел, где  означает бесконечно малую площадку, проходящую через точку  и перпендикулярную вектору   (который, в свою очередь, имеет произвольное направление), равен слагающей ротора вектора  по произвольному направлению  в произвольной точке поля

, т.е. .

В виду произвольности направления  вектора ротор вектора  во всех точках электростатического поля равен нулю: .

Подчеркнём, что ротор - математический объект, полученный в результате математических операций, и нам нет необходимости знать как он получен - для нас важно знать его выражение как математического объекта и правила его использования, другими словами: конечная формула, по которой мы можем формально вычислить его значение.

В математике показано, что ротор произвольного вектора  имеет вид (в декартовой системе координат)

, где - - проекции ротора на соответствующие оси: .

Вектор ,  где  - проекции вектора  на оси: .

Таким образом, в декартовой системе координат

  

Обычно используют символические выражения

Ротору, как любому вектору, можно придать геометрический смысл. Рассмотрим вращение твёрдого тела с угловой скоростью  (рис. 4). Выберем ось  так, чтобы она совпадала с осью вращения и была направлена по . Тогда линейная скорость  точки тела  будет равна ,

а слагающие её по осям координат 

   

Используя формулу для вычисления ротора, получим:

  

или

Итак,  в тех точках (и только в тех точках) тела, которые находятся во вращательном движении, описывая замкнутые траектории. Это и послужило основанием названия этого математического объекта - ротор (или вихрь ротора) (от латинского слова гоtо - "вращаю").

Отметим, что переход от интегрального представления (циркуляции вектора) к дифференциальному представлению (ротору) можно реализовать прямым использованием математического аппарата теории поля. В теории поля выведена формула . Используя эту формулу, можно сразу прийти к выражению .

Лабораторная работа по физике