Лекции и конспекты по физике

Примеры решения задач
по электротехнике, физике
Электродинамика
Практическое занятие по физике
Контрольная работа
Семинарское занятие
Лекции и конспекты по физике
Электростатика
Магнитное поле постоянных токов
Атомные физика
РАДИОАКТИВНОСТЬ
Расчет выпрямителей, работающих на нагрузку
с индуктивной реакцией
Рассчитать параметрический стабилизатор
напряжения
ПРИНЦИП РАБОТЫ ВЫПРЯМИТЕЛЯ
Двухполупериодный мостовой выпрямитель
СГЛАЖИВАЮЩИЕ ФИЛЬТРЫ
ПРИМЕР РАСЧЕТА
ГРАФИЧЕСКИЙ МЕТОД РАСЧЕТА
СТАБИЛИЗАТОРА
Схема стабилизатора со сглаживающим фильтром.
Лабораторная работа
ИСТОЧНИКИ ИЗЛУЧЕНИЯ
ФОТОПРИЁМНИКИ
ИЗУЧАЕМАЯ ЛИНИЯ СВЯЗИ
ИЗУЧЕНИЕ ФИЗИЧЕСКИХ СВОЙСТВ
ВОЛОКОННЫХ СВЕТОВОДОВ
Практическая часть работы
РАСЧЕТ ТРАНСФОРМАТОРОВ
МАЛОЙ МОЩНОСТИ
ОПРЕДЕЛЕНИЕ  ТОКА ХОЛОСТОГО ХОДА
Конструктивный расчет обмоток
 

Лекция 5

Магнитное поле постоянного тока. Магнитный поток и его непрерывность. Закон полного тока в дифференциальной форме. Скалярный и векторный магнитные потенциалы. Энергия магнитного поля.

1. Магнитное поле постоянных токов

В основе расчета МП постоянных токов лежит случайная система уравнений в интегральной форме: 1. ; 2. ; 3. .

Уравнения МП постоянных токов в дифференциальной форме имеют вид:

1); 2); 3) .

Первое уравнение свидетельствует о том, что МП тока является вихревым. Следовательно, там, где, нельзя указать такую скалярную функцию координат , градиент которой пропорционален вектору, так как из-за тождества

,

при этом оказалось бы всюду

Скалярный потенциал МП: иными словами вихревое поле не является потенциальным.

Однако в этой части пространства, где , имеем  и, следовательно, в этой части пространства можно представить  в виде:

рис. 3.1

Величину  называют скалярным потенциалом магнитного поля. Индекс «M» ставим, чтобы отличить магнитный потенциал от электрического.

Потенциал одинаков во всех точках поверхности, пересекаемой линиями H под прямым углом. Такую поверхность называют поверхностью равного магнитного потенциала.

Ее уравнение имеет вид:

.

Как было сказано, пользоваться понятием  можно только в той области пространства, где . Однако и в этой области   является многозначной функцией. Чтобы показать это, рассмотрим МП около контура с током. Линейный интеграл напряженности МП, взятый по любому замкнутому контуру, не охватывающему контур с током, равен нулю:

В частности, равен нулю интеграл по пути AnBmA. Следовательно,   или  , т.е. интеграл, взятый между двумя заданными точками A и B, определяется положением этих точек и не зависит от выбора пути интегрирования между точками при условии, что замкнутые контуры, образованные двумя различными путями интегрирования, не охватывают контуры с токами.

При этом условии ,

можно рассматривать как разность магнитных потенциалов  и  в точках А и В.

Однако если выбрать такой замкнутый путь интегрирования, который охватывает контур i, например путь AeBmA, то линейный интеграл  по такому пути уже не равен нулю.

,

откуда .

Если контур охватывает два раза контур с током , то

и вообще интеграл по некоторому пути может отличаться от интеграла по пути AmBnA на ki, где k-целое число.

Таким образом, скалярный магнитный потенциал оказывается величиной многозначной.

2. Векторный потенциал магнитного поля

Пусть сформулирована следующая задача: требуется рассчитать МП в однородной среде (), если задано распределение плотности тока.

, иначе говоря, требуется решить систему уравнений:;; , если плотность тока  задана в виде произвольной функции координат. Непосредственное решение  - часто является очень сложным.

Введем новую векторную функцию , позволяющая исключить неизвестные векторы  и  из уравнений и получить взамен их дифференциальное уравнение, решение которого известно.

Такой подстановкой является уравнение:

Вектор  носит название векторного потенциала МП.

При такой замене условие , выражающее принцип непрерывности магнитного потока, удовлетворяется тождественно, так как

.

Теперь можно исключить  из уравнения:

Учитывая, что , и что ,

получаем

В полученном выражении можно произвольно задаться значением , не нарушая уравнения

В результате того, что , получаем уравнение

Это уравнение совпадает по форме с уравнением Пуассона для электростатического потенциала , если заменить; а .

Для векторного потенциала:

 . (3.1)

Интегрирование произвольно по всему объему, где .

R – расстояние от элемента dV до точки, в которой определяется.

Выражение (3.1) – для определения  по заданному распределению тока в пространстве справедливо всюду, в частности и там, где .

Определив , можно рассчитать  и  по формулам: ; .

Выражение (3.1) может быть упрощено, если токи протекают по контурам из линейных проводов, поперечные размеры которых весьма малы по сравнению с длиной проводников и по сравнению с расстоянием от проводников до точек, в которых определяется . Представим элемент объема проводника в виде , где  - элемент длины проводника,  - элемент поверхности S поперечного сечения.

Выберем направление  всюду так, чтобы они совпадали с направлением вектора плотности тока , то есть разобьем проводник на отрезки трубок тока. При этом:

  и

.

3. Выражение магнитного потока через векторный потенциал

Установим связь между магнитным потоком  сквозь некоторую поверхность S и векторным потенциалом  магнитного поля.

Имеем

Согласно теореме Стокса

Следовательно: , таким образом,  сквозь поверхность S равен линейному интегралу  по замкнутому контуру, ограничивающему эту поверхность. [A] Вб/м.

Для вычисления  через  при помощи интеграла  необходимо определить  во всех точках поверхности S. При вычислении  через  достаточно знать  только на контуре, ограничивающим эту поверхность. Интегрирование по поверхности заменяется интегрированием по контуру, что во многих случаях оказывается весьма полезным.

Оперирование векторным потенциалом облегчает рассмотрение ряда важных положений теории МП, также как использование скалярным потенциалом упрощает рассмотрение многих вопросов электростатики.

Если сопоставить выражение для  через  и законом полного тока – видно формальное совпадение  и

Линии вектора  охватывают магнитный поток подобно тому, как линии вектора  в однородной среде охватывают ток.

4. Граничные условия на поверхности раздела двух сред с различными магнитными проницаемостями

Если линии  пересекают поверхность раздела двух участков магнитной цепи, имеющих различные, под некоторым углом к нормали к этой поверхности, то на поверхности раздела линии магнитной индукции изменяют свое направление. Обе среды однородны и изотропны. Составим линейный интеграл вектора   по контуру abcda, стороны которого лежат в разных средах бесконечно близко

к поверхности раздела. (bc‹‹ab)

Имеем: , так как сквозь поверхность, ограниченную контуром интегрирования, не проходит электрический ток. Принимая во внимание, что ab=cd, получим

  (3.2) 

или , то есть на поверхности раздела равны касательные составляющие .

.

Представляя себе замкнутую поверхность, образованную двумя поверхностями  и , следы которых в плоскости рисунка – линии ab и cd и цилиндрической поверхностью, пересекающей плоскость рисунка по линиям bc и cd. Магнитный поток сквозь эту поверхность равен нулю.

Следовательно,

.

Приняв во внимание, что, находим:

 , (3.3)

или ,

то есть на поверхности раздела равны нормальные составляющие вектора .

Из условий на поверхности раздела для векторов  и  получим, разделив (3.2) на (3.3):

;

;

5. Аналогия с электрической задачей

Для магнитного поля имеем для областей, где. Уравнения МП имеют вид:

; ; ;

Для электрического поля в области, где нет свободных зарядов . Уравнения электростатического поля:

; ;

Граничные условия у поверхности тела, внесенного во внешнее магнитное поле, является равенство в обоих средах нормальных составляющих вектора  и касательной составляющей .

Для тела из диэлектрика, внесенного во внешнее электрическое поле, граничные условия имеют аналогичный вид:

Таким образом, при исследовании поля тел во внешнем магнитном поле можно воспользоваться аналогичными задачами, решенными в электростатике, заменив   на ;  на  и  на .

Раскрытие выражения

В декартовой системе координат

  (3.4)

В виде определителя в декартовой системе (третьего порядка):

Непосредственно раскрытие определителя показывает, что получается выражение (3.4).

В виде векторного произведения:

рис. 3.2

Формально  можно представить в виде векторного произведения оператора пространственного дифференцирования  (оператор Гамильтона) на вектор , то есть

   (3.4)

В цилиндрической системе координат:

Электрическое поле в проводящей среде Внутри проводников, по которым проходит электрический ток, также соответствует электрическое поле

Расчет магнитных экранов. Много различных задач на расчет МП возникает при магнитной записи звука, а также при магнитной дефектоскопии. Магнитная дефектоскопия позволяет по картине МП судить о наличии раковин, трещин и других дефектов в изделиях из ферромагнитных материалов. Широко она распространена в железнодорожном транспорте при контроле целостности рельсов железнодорожного пути.

Энергия магнитного поля

Пример По прямому цилиндрическому проводу круглого сечения протекает ток I. Радиус провода a

Переменное электромагнитное поле в неподвижной среде

Лабораторная работа по физике