Лекции и конспекты по физике

Электрическое поле в проводящей среде

Внутри проводников, по которым проходит электрический ток, также соответствует электрическое поле. Напряженность электрического поля в изотропной среде связана с плотностью тока соотношением:

В изотропной среде направление линий  электрического тока всюду совпадает с направлением линий электрического поля. Если, кроме того, среда однородная (), то густота линий тока всюду пропорциональна густоте линий напряженности электрического тока, то есть картина линий тока и напряженности поля подобны друг другу.

Если среда неоднородна в отношении проводимости, то линии тока остаются в ней непрерывными, что следует из принципа непрерывности тока, выраженного условием,   или , которое представляет собой обобщенную форму  соответственно в интегральной и дифференциальной формах.

По теореме Остроградского .  или плотность тока проводимости не имеет источников. Линии вектора  - замкнуты.

Внутри проводящей среды вне источников ЭДС всюду соблюдается условие   или , что выражает в области, где нет источников ЭДС. Поле оказывается потенциальным. Поверхности равного электрического потенциала, определенные уравнением , пересекаются линиями электрического поля под прямым углом, а следовательно, в изотропной среде они пересекаются под прямым углом и линиями тока.

Таким образом, электрическое поле и поле вектора плотности тока в проводящей среде вне источников ЭДС характеризуются системой уравнений

.

Вопрос о пространственном распределении тока чрезвычайно важен при рассмотрении многих практических задач, например, при исследовании токов в земле, токов в массивных проводниках, токов проводимости в изоляции и так далее.

8. Граничные условия на поверхности двух проводящих сред

При переходе тока через поверхность раздела сред с различными удельными проводимостями  и  направление тока изменяется, если только линии тока не направлены нормально к поверхности раздела.

Составим линейный интеграл  по контуру , стороны  и  которого, расположены в разных средах бесконечно близко к поверхности раздела, получим:

, так как , ,

рис. 2.3

Применяя принцип непрерывности тока к замкнутой поверхности, образованной двумя поверхностями  и , расположенными в разных средах бесконечно близко к поверхности раздела и бесконечно малой боковой поверхностью раздела:

Имея в виду, что , получим

Приняв во внимание соотношение {,

Закон преломления линий тока по форме аналогичен закону преломления   на границе раздела двух диэлектриков.

Во многих практических случаях мы встречаемся с переходом тока из металлических тел в окружающую среду, удельная проводимость которой во много раз меньше удельной проводимости материала этих тел. Например, ток утечки через изоляцию между проводами, заземление. Во всех этих случаях при рассмотрении поля в среде с малой удельной проводимостью можно считать поверхности тел поверхностями равного потенциала.

9. Аналогия электрического поля в проводящей среде с электрическим полем

Между соотношениями, характеризующими стационарное электрическое поле постоянных токов в проводящей среде и соотношениями, характеризующими электростатическое поле в диэлектрике, можно провести формальную аналогию.

Для электрического поля токов в проводящей среде имеем:

, , , ,

Они формально совпадают соотношениями для электростатического поля в диэлектрике:

, , , , ,

если в последних заменить вектор электрического смещения  вектором плотности тока , ; .

В электростатической задаче границей диэлектрика является поверхность проводящего тела. Эта поверхность есть поверхность равного потенциала, и вектор  к ней нормален. Границей плохо проводящей среды (почвы или несовершенной изоляции) является поверхность проводников. С большой степенью точности эту поверхность можно считать поверхностью равного потенциала, и вектор  в плохо проводящей среде считать направлением по нормали к ней. На основании изложенного можно утверждать, что картина электрического поля токов (в почве или в изоляции) в этих задачах должна совпадать с картиной поля в соответствующих электростатических задачах.

На этом основан метод электростатической аналогии, позволяющий в ряде случаев при расчете токов в проводящей среде воспользоваться готовыми решениями соответствующих задач электростатики. Метод электростатической аналогии дает возможность также заменить исследования электростатического поля экспериментальным исследованием поля тока в проводящей среде.

В частности, формулы для электропроводимости , в которых протекает ток, могут быть получены из соответствующих формул для емкости  тел, так как в аналогичных задачах ток  заменяется зарядом .

Электрическая емкость тела или емкость между телами определяется геометрическими параметрами тела и диэлектрическими проницаемостями сред, окружающих тела. Поэтому, чтобы получить формулу для , достаточно заменить в соответствующей формуле для   .

Если проводящая среда и , соответственно, диэлектрик однородны, то формулу для    входит множителем, и соответственно в формулу для емкости  для диэлектрической проницаемости  также входит множителем.

Следовательно, для аналогичных задач имеем:

 

 

 

Ток утечки в кабеле и сопротивление изоляции кабеля

рис. 2.4

Определим ток утечки  в кабеле, возникающий вследствие несовершенства изоляции кабеля. Сечение кабеля приведено на рисунке. Линии напряженности поля и линии тока утечки изоляции можно считать направленными по радиусу.

Проведем внутри изоляции цилиндрическую изоляцию, имеющую радиус R и длину l в направлении оси кабеля. Имеем:  и, следовательно,

Напряжение  между проводами:

Следовательно, проводимость

,

Пользуясь этой формулой, можно записать формулу для емкости кабеля:

11. Поле шарового электрода

Для заземления электрической цепи ее соединяют с металлическим проводником, зарытым в землю. Такой проводник называется заземлителем.

Ток, проходящий в землю через заземлитель, встречает сопротивление (сопротивление земли), которое называется сопротивлением заземления. В земле линии тока не уходят в бесконечность, а собираются у другого электрода. Вблизи от заземлителя, на поверхности земли могут возникать большие напряжения.

Исследуем поле сферического заземлителя.

Металлический шар радиусом a находится в грунте с проводимостью. К шару при помощи изолированного провода подводится постоянный ток I, который возвращается в цепь на достаточном удалении от заземления.

рис. 2.5

По условию симметрии линии плотности тока  вблизи заземлителя будут направлены радиально. На расстоянии R от центра шара

По закону Ома:

Экспотенциальными поверхностями будут концентрические сферы.

Напряжение между произвольной точкой M и точкой, которая находится на поверхности заземлителя:

При увеличении

  – напряжение растекания.

  – сопротивление растеканию.

  – сопротивление заземлению, сопротивление заземления.

2. Если электрод расположен близко от поверхности земли, то линии тока искажаются. В этом случае можно пользоваться методом зеркальных изображений.

рис. 2.6

Линии тока у земли должны быть к ней касательны. Это условие останется удовлетворенным, если мысленно заполнить воздушное пространство над поверхностью земли проводящей средой с такой же, как у земли удельной проводимостью   и поместить в эту среду электрод, являющийся зеркальным изображением действительного электрода относительно поверхности земли.

Ток, выходящий из мнимого электрода, должен быть равен по величине и по знаку току, выходящему из действительного электрода в землю. Проводимость заземления для действительного электрода, очевидно, равна половине проводимости системы, образованной электродом и его зеркальным изображением.

3. Проводимость в случае электрода в форме полушария, расположенного у поверхности земли:

рис. 2.7

Пример расчета. Полусферический заземлитель м погружен в землю, удельная проводимость которой  1/Ом∙м ток короткого замыкания I=100 А стекается через заземлитель в землю и собирается у другого электрода.

рис. 2.8

Определитель:

Сопротивление растеканию.

Напряжение шага, под которым может оказаться человек, приближающийся к заземлителю, считать  считать равной 1 м.

Решение:

;

Предельное напряжение называется напряжением растекания.

.

  В

Вопросы:

Каково значение величины rot H в однородном магнитном поле?

Является ли функция div D векторной?

Свободные заряды в некотором объеме отсутствуют, так что div D = 0. Справедливо ли равенство div E = 0 в точках объема, если среда а) однородна б) неоднородна?

При каком характере распределения в пространстве электрического тока и заряда величины rot H, div D теряют смысл?

Чему равна функция grad φ внутри проводящего тела?

Лабораторная работа по физике