Электродинамика

Примеры решения задач
по электротехнике, физике
Электродинамика
Практическое занятие по физике
Контрольная работа
Семинарское занятие
Лекции и конспекты по физике
Электростатика
Магнитное поле постоянных токов
Атомные физика
РАДИОАКТИВНОСТЬ
Расчет выпрямителей, работающих на нагрузку
с индуктивной реакцией
Рассчитать параметрический стабилизатор
напряжения
ПРИНЦИП РАБОТЫ ВЫПРЯМИТЕЛЯ
Двухполупериодный мостовой выпрямитель
СГЛАЖИВАЮЩИЕ ФИЛЬТРЫ
ПРИМЕР РАСЧЕТА
ГРАФИЧЕСКИЙ МЕТОД РАСЧЕТА
СТАБИЛИЗАТОРА
Схема стабилизатора со сглаживающим фильтром.
Лабораторная работа
ИСТОЧНИКИ ИЗЛУЧЕНИЯ
ФОТОПРИЁМНИКИ
ИЗУЧАЕМАЯ ЛИНИЯ СВЯЗИ
ИЗУЧЕНИЕ ФИЗИЧЕСКИХ СВОЙСТВ
ВОЛОКОННЫХ СВЕТОВОДОВ
Практическая часть работы
РАСЧЕТ ТРАНСФОРМАТОРОВ
МАЛОЙ МОЩНОСТИ
ОПРЕДЕЛЕНИЕ  ТОКА ХОЛОСТОГО ХОДА
Конструктивный расчет обмоток
 

Электростатическое поле

Электрическое поле в вакууме.

Напряжённость электрического поля

Основной закон электростатики, закон Кулона, даёт количественное описание силового взаимодействия двух точечных зарядов. Согласно принципу причинности, это взаимодействие есть следствие каких-то скрытых причин. Надо придумать такую причину и количественно её описать с использованием измерительных процедур - в этом случае причина становится физической.

Таких причин было придумано две:

1. Заряды имеют свойство мгновенно действовать друг на друга независимо от расстояния и окружающей среды (дальнодействие). Нужен эксперимент, доказывающий мгновенность взаимодействия - такового нет.

2. Изолированный заряд  создаёт вокруг себя область, в каждой точке которой имеют место электрические свойства, характеризующиеся вектором  и если в какую-либо точку около заряда помещают другой заряд , то он взаимодействует с этим свойством (вектором ), что приводит к силе (близкодействие).

Нужен эксперимент, доказывающий существование электрических свойств, обусловленных зарядом в окружающем заряд пространстве.

Если вокруг электрического заряда разместить порошок диэлектрика, или вокруг магнита разместить железные опилки, то и диэлектрические порошинки, и железные опилки будут располагаться упорядоченно, образуя линии различной формы (имеется в виду, что формы линий, образующиеся порошинками, будут отличаться от формы линий, образующихся опилками).

Первым такие линии наблюдал М. Фарадей. Существование таких электрических (магнитных) линий он принял за экспериментальное доказательство электрической (магнитной) среды вокруг зарядов (магнитов). Эта среда была названа электрическим (магнитным) полем. При этом причину возникновения самих электрических линий он объяснил упругими деформациями гипотетической среды - эфира, а сами электрические заряды определил как места сгущения силовых линий. Ему казалось, что он не только обнаружил экспериментально области электрических и магнитных сред, но и изобрёл метод визуального наблюдения за свойствами этих сред.

Увы, поведение диэлектрического порошка и железных опилок объяснялось в рамках феноменологических законов Кулона (закона взаимодействия электрических зарядов и закона взаимодействия магнитных зарядов - см. далее), т.е. без привлечения электрических и магнитных параметров окружающей среды.

Любое физическое объяснение проводится с помощью физических величин. Так, в данном случае надо было ввести физическую величину, характеризующую электрические свойства среды, т.е. поставить в соответствие вектору   измеряемую величину  и, используя эту величину, проводить объяснение. Однако до сих пор способа задания величины  как физической не придумано. Таким образом, вопрос о причине взаимодействия электрических зарядов в электростатике - вопрос открытый.

Но "нет худа без добра". Ошибочный взгляд Фарадея привёл к интенсивности работ в областях физики, связанных с электромагнетизмом. Так, с работами М. Фарадея познакомился Максвелл и написал свою первую работу "О силовых линиях Фарадея", где попытался перевести физические исследования Фарадея на язык математики. Основная цель Максвелла заключалась в описании всех электромагнитных явлений в рамках единой математической теории, и поэтому как силовые линии Фарадея, так и другие электрические и магнитные явления Максвелл рассматривал как явления, которые независимо от их природы можно было описать в рамках математических моделей. Для создания единой электромагнитной теории Максвелл использовал разработанный им "метод аналогий". Суть метода Максвелл описал так: "под физической аналогией я разумею частное сходство между законами двух каких-нибудь областей науки, благодаря которому одна является иллюстрацией другой".

Таким образом, можно было взять какую-нибудь область науки (например, гидромеханику), для которой имелся хорошо разработанный математический аппарат и визуально наблюдаемые физические явления (ламинарное и турбулентное течение жидкостей, стационарные и нестационарные потоки и т.п.), постулировать аналогию между наблюдаемым поведением какого-либо гидромеханического процесса и поведением какого-либо электромагнитного процесса и рассмотреть гидромеханический процесс как визуальную аналоговую модель невидимого электромагнитного процесса, при этом математическое описание обоих процессов одинаково. Математическое описание служит средством, на основе которого можно развивать знания дальше и получать в конечном итоге результаты, которые можно проверить на опыте, а визуальная модель оставляет себе роль аналогии, существующей для понимания. При этом не имеет значения описывает ли математическая модель реальный физический механизм или служит средством описания. Цель метода - получить математические приёмы и формулы, необходимые для описания.

Следуя своему методу, Максвелл постулирует, что поток жидкости в трубках своей скоростью представляет напряжённость электрической силы, а своим направлением - её направление. Стенки трубок при этом сводятся к математическим поверхностям, которые определяют направление движения жидкости, непрерывно заполняющей всё пространство. В результате математический объект описания жидкости - поток вектора скорости  в качестве аналога приводит к математическому объекту описания электрического явления - потоку вектора напряжённости электрического поля .

Графическое изображение потока скорости жидкости (реальное или математическое) становится аналоговым изображением потока напряжённости электрического поля, а формула служит средством математического описания электрических явлений и получения с её помощью новых формул и следствий, которые подлежат измерению. При этом природу самого поля (физическая она или математическая) знать нет необходимости. Так, используя гидромеханические аналоги, Максвелл построил теорию электромагнитных явлений, которую рассматривал как сугубо математическую. В отношении электростатических и магнитостатических явлений она и сегодня остаётся только математической, что касается явлений, связанных с электромагнитным полем, то были придуманы эксперименты, которые показали, что электромагнитное поле - это физическая реальность, так называемая полевая форма материи (см. далее).

Итак, в электростатике электрическое поле является полем математическим. Сегодня, когда с одной стороны, хорошо развита математическая теория поля, а с другой стороны, к любому явлению, независимо от его природы, можно применить математическое описание (важно выполнение математических условий) проблему описания взаимодействия электрических зарядов можно решить, не прибегая ни к каким аналогиям.

Итак, согласно математической модели поля, должна существовать область пространства, в каждой точке которой существует значение скалярной   или векторной функции . Возьмём заряд , закрепим его в какой-либо точке и будем помещать в различные точки пространства вокруг заряда  заряд . Тогда в любой точке (в пределах окружающей заряд   области) на заряд  будет действовать сила  (по закону Кулона) - т.е. область вокруг заряда  может быть описана в рамках математической теории поля. Выделим параметры, относящиеся к заряду , для этого разделим левую и правую часть на величину заряда  и отношение обозначим символом . . Назовём символ  напряженностью электрического поля. Из отношений следует, что . Математические формулы можно интерпретировать так: заряд  создаёт вокруг себя электрическое поле, характеризующееся напряжённостью , а заряд  взаимодействует с электрическим полем заряда , что приводит к силе взаимодействия . Таким образом, в электростатике электростатическое поле есть способ описания кулоновского взаимодействия электрических зарядов с помощью математической теории поля.

Перейдём к рассмотрению электростатики в рамках математической теории поля. Итак, при рассмотрении кулоновского взаимодействия в полевом представлении была введена величина  - "напряжённость электрического поля", определённая как отношение силы, действующей на заряд  со стороны заряда  к величине заряда : . В случае нескольких зарядов напряжённость поля в данной точке равна векторной сумме напряжённостей поля каждого из этих зарядов в отдельности (принцип суперпозиций напряжённостей). Следует помнить, что напряжённость (или, как её ещё называют, сила поля) не есть сила, которая приводит в движение заряженные тела (пондеромоторная сила). Сила, которая приводит тело в движение, равна произведению напряжённости на величину заряда тела: .

Можно экспериментально измерить силу взаимодействия электрических зарядов в полевом представлении: для этого надо в каждую область пространства вокруг заданной системы зарядов поместить так называемый пробный заряд (обычно положительный) , измерить силу, действующую на заряд  в этой точке  и разделив  получить значение  в этой точке.

Ещё раз отметим, что в данном случае напряжённость электрического поля   - односимвольная запись отношения  , а не доказательство существования физического электрического поля. Однако, определяя  экспериментально, мы пользуемся измерениями свойств реальных тел, и здесь надо учитывать следующее: измеряя свойства системы зарядов с помощью пробного заряда, мы увеличиваем число зарядов на единицу, так как пробный заряд по сути вносится в систему зарядов. Ввод дополнительного заряда в систему реальных заряженных тел может привести к перераспределению зарядов на заряженных телах, сдвигу этих зарядов и т.п.

Чтобы эти эффекты были минимальны, заряд пробного тела должен быть по возможности как можно меньше, т.е. такой, чтобы его внесение не изменяло электрических свойств системы в пределах точности измерений. При использовании математической теории поля рассматривают полевые инварианты: поток, циркуляция, градиент (см. ранее).

Начнём рассмотрение с потока напряжённости электрического поля. По определению, элементарный поток вектора напряжённости электрического поля , где - модуль вектора напряженности электрического поля,   - модуль элемента поверхности,   - угол между направлением вектора   и нормалью к элементу поверхности. ,  - - нормальная составляющая вектора . Поток вектора  через произвольную поверхность . Поместим точечный заряд  в центр сферической поверхности радиуса  и вычислим поток вектора   через эту поверхность .

Итак, в этом случае поток  через сферическую поверхность пропорционален величине заряда , находящегося в центре этой поверхности. Мы рассмотрели частный случай теоремы Гаусса-Остроградского, которая утверждает, что в произвольном электростатическом поле (в вакууме) поток вектора  через замкнутую поверхность равен алгебраической сумме всех зарядов, находящихся внутри этой поверхности, делённой на : . В качестве зарядов могут быть тела любой формы с любым распределением заряда. Применение теоремы Гаусса-Остроградского существенно упрощает ряд задач электростатики (см. далее).

Объём замкнутой поверхности в теореме Гаусса произвольный. Между тем, при неравномерном распределении заряда, или поля, чтобы получить точную информацию о поле вектора  необходимо рассматривать как можно меньшие объёмы замкнутых поверхностей.

Возьмём тело объёмом , в котором имеется какое-либо распределение объёмной плотности заряда . Полный заряд тела . Разобьём тело на такие малые объёмы , в пределах которых плотность заряда постоянна. Каждый такой объём будет содержать количество заряда , причём . Применив к объёму  теорему Гаусса-Остроградского, получим

  или  возьмем предел, тогда

, так как , то справа имеем , а чтобы узнать, что имеет место слева, надо заглянуть в справочник по математике. Заглянув, узнаем, что этот предел носит название "дивергенция вектора " и обозначается как . Выражение для дивергенции вектора  при использовании декартовой системы координат, имеет вид:

, где  - проекции вектора  вдоль осей , а - частные производные проекций  по соответствующим осям.

Таким образом  - дифференциальное уравнение, которое является одним из основных уравнений электростатики. Места, в которых , называют истоками поля, а сама величина называется силой истоков поля. Такое название (истоки поля) дивергенция получила из-за того, что в гидродинамике дивергенция скорости жидкости  имеет прямое физическое значение  равна рассчитанному на единицу объёма количества жидкости, вытекающей из элемента , окружающего рассматриваемую точку. Название "дивергенция" (по-латыни означает "расходимость") избрано для этой величины потому, что жидкость растекается или расходится только из тех точек или участков занимаемого пространства, в которых . Очевидно, что в этих точках должны быть расположены источники жидкости. По аналогии, можно говорить, что в точках, где  расположены источники поля.

Для использования данного уравнения необходимо, чтобы в тех точках, где оно применяется, вектор был дифференцируемый, т.е. не имел разрывов. Поэтому для тех точек поля, где  изменяется скачком, уравнение неприменимо. На поверхностях разрыва справедлива формула , ( - поверхностная плотность заряда). Эту формулу иногда записывают символически в виде - .

Заметим, что переход от интегрального представления теоремы Гаусса к её дифференциальному представлению можно реализовать прямым использованием аппарата математической теории поля. Там есть формула для произвольного вектора

слева - поток вектора  через замкнутую поверхность, а справа - интеграл по объёму от дивергенции вектора . Применим эту формулу для теоремы Гаусса:

.

Поскольку объём произвольный, то равенство интегралов возможно при равенстве подынтегральных выражений, т.е. .

Лабораторная работа по физике