Лекции и конспекты по физике

Лекция 2

Граничные условия на поверхности раздела двух диэлектриков. Емкость. Энергия электростатического поля.

1. Граничные условия.

Под граничными условиями понимают условия, которым подчиняется поле на границах раздела сред с разными электрическими свойствами.

Можно провести параллель между ролью граничных условий в электрическом (или любом другом) поле и ролью начальных условий и законов коммутации при переходных процессах.

При интегрировании уравнений Лапласа или Пуассона в решение входят постоянные интегрирования. Их определяют исходя из граничных условий.

2. Условия на границе раздела двух диэлектриков.

На границе раздела двух диэлектриков с различными диэлектрическими проницаемостями выполняются два следующих условия:

Равны тангенциальные составляющие вектора напряженности поля:

Е1τ=Е2τ (1.15)

Равны нормальные составляющие вектора электрической индукции:

D1n=D2n (1.16)

Первое условие вытекает из того, что в потенциальном поле

.

Докажем условие (1.15). С этой целью на границе раздела диэлектриков с ε1 и ε2 выделим плоский замкнутый контур abcda и составим вдоль него циркуляции вектора .

Длину ab=cd обозначим через dl так, что ab=cd=dl.

Контур возьмем так, что ac=db<<dl.

Составляющими интеграла  вдоль вертикальных сторон в силу их малости пренебрегаем.

Составляющая  на пути ab равна:

по пути cd: 

.

Знак (-) появился потому, что элемент длины пути cd и касательная составляющая вектора  направлены в противоположные стороны (cos 1800=-1).

Таким образом, =E1τ - E2τ =0 или E1τ = E2τ, т. е. касательная (тангенциальная) составляющая вектора  непрерывна на границе раздела двух сред. Используя связь между  и , получим:

   (Условие преломления линий Dτ при переходе из одной среды в другую).

Тангенциальная составляющая вектора электрического смещения на границе сред испытывает разрыв.

Разделив граничные условия ε1Е1n= ε2Е2n на граничные условия ε1Е1τ= ε2Е2τ получим:

;

.

2. Второе условие представляет собой обобщенную теорему Гаусса.

  Убедимся в справедливости второго условия.

С этой целью на границе раздела двух сред выделим очень малых размеров параллелепипед. Внутри выделенного объёма свободных зарядов нет, а есть только связанные заряды и поэтому

.

Поток вектора  через верхнюю грань площадью dS

.

Через нижнюю грань

cosα

.

Следовательно:

или

D1n=D2n.

Учитывая связь между векторами  и , получаем, что нормальная составляющая напряжения электрического поля  изменяется при переходе через границу обратно - пропорционально диэлектрической проницаемости:

ε1E1n=ε2E2n   .

При наличии на границе раздела двух сред свободных зарядов поверхностной плотностью δ (это встречается очень редко):

D1n-D2n=δ,

т.е. при наличии на границе раздела двух сред свободных зарядов нормальная составляющая вектора  скачком изменится на величину плотности свободных зарядов на границе раздела.

Но потенциал – это работа. На границе раздела двух сред потенциал не претерпевает скачков; он непрерывен:

φ1 = φ2 .

Лабораторная работа по физике