Лекции и конспекты по физике

Векторные операции в различных системах координат.

Ценность записи уравнений поля в векторной форме заключается в том, что такая запись не зависит от выбора системы координат. Однако выражения для составляющих rot и div некоторого вектора  получаются различными в разных системах координат.

В прямоугольной системе:

;

;

;

.

В сферической системе (r; φ; α) (рис. 1.6):

;

;

;

.

  Рис. 1.6

В цилиндрической системе (r; φ; z) (рис. 1.7):

;

;

;

.

  Рис. 1.7

10. Электростатическое поле.

Как было сказано выше, не изменяющееся во времени электрическое поле в пространстве без токов – электростатическое поле – не зависит от магнитного и определяется следующей системой уравнений:

1)   

2)  

3) 

Уравнения электростатического поля вытекают как частный случай из общих уравнений электромагнитного поля если положим , .

Анализ этих уравнений приводит к основным понятиям электростатики.

11. Скалярный потенциал электрического поля.

Начнем с первого уравнения , утверждающего, что электростатическое поле является безвихревым, или, как чаще говорят, потенциальным. Происхождение второго термина связано со следующим свойством электростатического поля.

В силу известного тождества векторного анализа , напряженность этого поля  есть градиент некоторого скаляра , который называется электростатическим потенциалом.

(1.9)

1. Градиент скалярной функции – скорость изменения функции (φ), взятая в направлении ее наибольшего возрастания (рис. 1.8). В этом определении существует 2 положения:

1) направление, в котором берутся две близлежащие точки, должно быть таким, чтобы скорость изменения потенциала была максимальна;

2) направление таково, что скалярная функция в этом Рис. 1.8 направлении возрастает.

В декартовых координатах:

*, ,  - единичные векторы (орты) соответствующих осей.

Подставив выражения ,  в уравнение (1.9), получим

.

Отсюда

; ; .

Оператор Гамильтона:

2. Потенциал – неоднозначная функция поля. Если положить:

(1.10)

где   - некоторый скаляр, то будет удовлетворено уравнение .

Легко увидеть, однако, что записанное выражение (1.10) будет описывать поле, тождественное (1.9), лишь в том случае, если  (не зависит от координат). Итак, для данного поля  потенциал определен с точностью до постоянной.

3. Выясним физическое содержание введенного понятия .

Напряженность  определяется как сила, действующая на единичный точечный заряд, помещенный в данную точку поля. При перемещении этого заряда вдоль элементарного отрезка (рис. 1.9):

силы поля совершают работу:

,

а работа по переносу заряда из т. 1 в т. 2

  (1.11)

 Рис. 1.9

Переписав стояще под знаком интеграла скалярное произведение в декартовых координатах:

,

видим, что он представляет собой взятый с обратным знаком полный дифференциал функции :

.

Поэтому можно записать:

(1.12)

Итак, работа, совершаемая при перемещении единичного положительного точечного заряда в электростатическом поле, равна разности потенциалов начальной и конечной точек пути. Она не зависит от абсолютного значения потенциалов, а также от вида пути, соединяющего точки. В частности, работа при обходе замкнутого контура равна нулю. Этот факт выражается формулой:

 Рис. 1.10

 .

Объединяя (1.11) и (1.12) получаем связь разности потенциалов с напряженностью поля:

(1.13)

Как уже говорилось, значение потенциала определяется лишь с точностью до постоянной величины. Эту постоянную при необходимости выбирают условно. Так, иногда удобно считать, что потенциал земли или корпуса какого-либо устройства равен нулю. После этого потенциал любой точки определяется на основании (1.13), где М1 или М2 лежит в области известного потенциала (рис. 1.10).

В электростатике обычно принимают, что потенциал в бесконечно удаленных точках равен нулю. Тогда потенциал в произвольной точке М численно равен работе, совершаемой при перемещении единичного заряда из этой точки в бесконечность, т. е.:

Понятие потенциала значительно упрощает задачу нахождения электростатического поля: вместо трех проекций вектора  достаточно сначала найти одну лишь функцию , после чего поле вычисляется путем простого дифференцирования:

.

Лабораторная работа по физике