Площадь плоской фигуры в полярных координатах Вычислить объем цилиндрического тела Вычисление криволинейных интегралов Вычислить момент инерции Вычислить повторный интегралЗадача КОШИ

Математика 1-2 курс. Примеры решения контрольного, курсового, типового задания

  Задача КОШИ для СДУ в нормальной форме

При рассмотрении прикладной задачи, требующей решения СДУ, как правило, интересует единственное решение. Поэтому нужно уметь выделять из бесконечного множества решений СДУ требуемое решение. Одним из способов этого является требование: найти
такое решение ,  СДУ, соответствующая интегральная кривая которого проходит через точку ; это условие формулируют в следующем виде.

ЗАДАЧА КОШИ. Найти решение СДУ  здесь  – начальные условия (сокр. НУ), .

Используя теорию обыкновенных дифференциальных уравнений, можно утверждать, что ЗАДАЧА КОШИ для СДУ не всегда имеет решение; решение может существовать, но быть неединственным. Достаточные условия существования единственного решения задачи Коши устанавливаются теоремами существования. Приведем
одну из них; условия теоремы легко проверяются, но, в общем-то, грубые (жесткие).

ТЕОРЕМА (существования единственного решения задачи Коши СДУ)

Если 1) вектор-функция  непрерывна в области ,  – открытая область, ;

 2)    – непрерывная функция в ,

то для   и  можно указать окрестность ,
на которой существует единственное решение задачи Коши  т.е. через каждую точку  проходит единственная интегральная кривая СДУ при .

При выполнении условий теоремы изменением вектора  получим бесконечное ""-параметрическое семейство решений , где  – вектор с произвольными постоянными коэффициентами.

Вектор-функцию , , называют общим решением в области  СДУ , если

  – решение СДУ, т.е. ;

НУ , ,  :  –
решение СДУ, удовлетворяющее НУ, т.е. .

Всякое решение СДУ, получающееся из общего решения этой системы при конкретном значении вектора , является частным решением СДУ.

Решения задачи Коши

Решить 

СДУ имеет нормальную форму записи, если удается записать ее уравнения в виде, разрешенном относительно первых производных неизвестных функций

Геометрическая интерпритация СДУ в нормальной форме и ее решений

Пространство переменных  СДУ в нормальной форме называется фазовым пространством системы. Его структура может быть различной

Является ли двухпараметрическое семейство функций ,  общим решением СДУ  

Сведение СДУ к одному ДУ

Свести СДУ  к одному ДУ. Решить ДУ. Записать СДУ и решение СДУ в векторной и векторно-матричной формах.

Метод интегрируемых комбинаций  –

СДУ второго порядка сводится к ДУ , откуда   и из первого уравнения , т.е.  – общее решение СДУ.

СДУ в нормальной форме  может быть представлена в виде , симметричном относительно переменных. Так, например, симметричная форма записи СДУ


Построить схематично график функции