Дифференцируемость ФНП Диффенцирование неявно заданной функции Построить схематично график функции Предел функции многих переменных Вычисление интеграла Площадь плоской фигуры в полярных координатах

Математика 1-2 курс. Примеры решения контрольного, курсового, типового задания

Типовые задачи

Вычисление криволинейных интегралов I рода

ПРИМЕР 1. Вычислить интеграл , если  , , .

Решение. Сводим криволинейный интеграл к определенному с
использованием уравнения дуги ( – параметр, ).

.

ПРИМЕР 2. Вычислить , где дуга  есть отрезок , , .

Решение. Зададим  в параметрической форме, для этого найдем уравнение прямой  , откуда  . Поэтому имеем

.

Определитель Вронского. Линейная зависимость и независимость системы функций.

 Опр. 14.5.3.1. Система функций y1(x), y2(x), …, yn(x) называется линейно зависимой на интервале (a, b), если существует набор постоянных коэффициентов , не равных нулю одновременно, таких, что линейная комбинация этих функций тождественно равна нулю на (a, b):  для

Если равенство  для  возможно только при , система функций y1(x), y2(x), …, yn(x) называется линейно независимой на интервале (a, b).

Другими словами, функции y1(x), y2(x), …, yn(x) линейно зависимы на интервале (a, b), если существует равная нулю на (a, b) их нетривиальная линейная комбинация. Функции y1(x), y2(x), …, yn(x) линейно независимы на интервале (a, b), если только тривиальная их линейная комбинация тождественно равна нулю на (a, b).

Примеры: 1. Функции 1, x, x2, x3 линейно независимы на любом интервале (a, b). Их линейная комбинация - многочлен степени  - не может иметь на (a, b) больше трёх корней, поэтому равенство  для  возможно только при .

Пример 1 легко обобщается на систему функций 1, x, x2, x3 , …, xn. Их линейная комбинация - многочлен степени   - не может иметь на (a, b) больше n корней.

3. Функции  линейно независимы на любом интервале (a, b), если . Действительно, если, например, , то равенство  имеет место в единственной точке .

 

Вычислить интеграл

Вычислить интеграл , где   – шаровое кольцо .

Вычислить объем тела, ограниченного эллипсоидом .

Длина дуги в декартовых координатах Вычислить длину одного витка винтовой линии , , .

Механические приложения Вычислить массу дуги   


Вычислить объем цилиндрического тела