Вычисление интеграла ФНП.
Типовые задачи
Объем цилиндрического тела
ПРИМЕР
6. Вычислить объем цилиндрического тела, расположенного между плоскостями 
и 
и ограниченного поверхностью 
и плоскостью 
.
Решение. Тело имеет основание – область
на плоскости 
(см. рисунок), причем 
Цилиндрическая поверхность
с образующей, параллельной оси 
, и направляющей по границе 
образует боковую поверхность тела; сверху тело
ограничено частью плоскости . Поэтому объем тела
(цилиндрического тела) вычисляем
следующим образом:
.
Теорема существования и единственности решения задачи Коши для линейного уравнения: если функции f(x), pi(x), i = 1, 2, …, n непрерывны на интервале (a, b), x0 - произвольная точка этого интервала, то для любых начальных условий (22) существует единственная функция y(x), определённая на всём интервале (a, b) и удовлетворяющая уравнению (20) и начальным условиям (22).
Всё дальнейшее изложение ведётся в предположении, что условия теоремы существования и единственности решения задачи Коши выполняются, даже если это не оговаривается специально.
Линейный дифференциальный
оператор и его свойства. Множество функций, имеющих на интервале (a, b) не менее
n производных, образует линейное пространство. Рассмотрим оператор Ln(y), который
отображает функцию y(x), имеющую 
производных, в функцию, имеющую k - n производных:
(23)
С помощью оператора Ln(y) неоднородное уравнение (20) можно записать так:
Ln(y) = f(x); (24)
однородное уравнение (21) примет вид
Ln(y) = 0. (25)
Теорема 14.5.2. Дифференциальный оператор Ln(y) является линейным оператором.
Док-во непосредственно следует из свойств производных:
Если
C = const, то 
2. 
Наши дальнейшие действия: сначала изучить, как устроено общее решение линейного однородного уравнения (25), затем неоднородного уравнения (24), и потом научиться решать эти уравнения. Начнём с понятий линейной зависимости и независимости функций на интервале и определим важнейший в теории линейных уравнений и систем объект - определитель Вронского.
Механические
приложения Пластина имеет форму прямоугольника со сторонами длиной 
и 
. Найти массу этой пластины, если ее плотность
распределения массы в произвольной точке равна квадрату расстояния от точки до
одной из вершин пластины.
Вычисление
площади криволинейной поверхности ПРИМЕР. Вычислить площадь частей сферы 
, лежащих внутри цилиндра 
.