Дифференцируемость ФНП Диффенцирование неявно заданной функции Построить схематично график функции Предел функции многих переменных Вычисление интеграла Площадь плоской фигуры в полярных координатах

Математика 1-2 курс. Примеры решения контрольного, курсового, типового задания

Предел, непрерывность ФНП

Понятие предела функции многих переменных (сокр. ФНП) вводится в предельной точке области определения функции.

Пусть   – предельная точка множества , т.е. в каждой ее
окрестности находится хотя бы одна точка из , отличная от . Тогда , если выполняется соотношение

.

Это определение можно расшифровать для  – конечное
число или , для  – конечная точка или , расписывая
множества , , , .

При рассмотрении предела ФНП следует обратить внимание на условие . Здесь предполагается, что координаты  точки  стремятся к соответствующим координатам предельной
точки  одновременно и независимо друг от друга. Если рассматривать поочередное стремление ,  при фиксированном значении всех остальных координат, то получим так называемые повторные пределы. Существование предела ФНП в точке (по совокупности переменных) не связано с существование
повторных пределов.

ПРИМЕР 1. Доказать по определению .

Решение. Берем . Ищем  так, чтобы

.

Верно соотношение

.

Выберем, например, . Тогда ,  , , т.е. по определению предела ФНП в точке имеем .

ПРИМЕР 2. Показать, что функция  не имеет
предела при .

Решение. Существование предела ФНП в точке определяет стремление функции к одному и тому же числу при "различных приближениях" точки  к предельной точке. В нашем случае имеем , , т.е. существуют кривые, двигаясь по которым к , получаем в пределе для рассматриваемой функции разные значения. Это означает, что функция не имеет предела при .

Заметим, что для рассматриваемой функции, двигаясь к  по любой прямой   или  , получим одно и то же значение предела. Но при произвольном стремлении  функция не имеет предела.

Для функции  представить на плоскости  множество точек  ее существования; указать свойства этого множества.

Иногда удобно использовать переход от переменных  и  к полярным координатам. В частности, условие  (одновременно и независимо друг от друга) преобразуется в условие  при всяком  (независимо от ; сразу для всех ).

Многие теоремы о пределах, рассмотренные подробно для функции одной переменной (сокр. ФОП), могут быть перефразированы и доказаны для ФНП. Это прежде всего теорема об единственности предела (конечного), теорема о локальной ограниченности функции, имеющей конечный предел при , теорема "об арифметике" функций, имеющих конечные пределы при  и т.д. Приемы вычисления предела ФОП также могут быть использованы для ФНП.

Показать, что функция   непрерывна в точке   по каждой координате  и , но не является непрерывной в точке  по совокупности переменных.

Пусть , , . Частные производные первого порядка функции  вводятся соответственно соотношениям

Записать уравнение касательной плоскости к поверхности  в точке .

Некоторые свойства интеграла ФНП


Вычислить объем цилиндрического тела