Вычисление интеграла ФНП.
Вычисление интеграла
рассмотрим подробно в зависимости от
и
.
Вычисление определенного интеграла основано на следующих утверждениях, имеющих и самостоятельное значение.
Пусть функция
задана на
,
. Тогда интеграл
можно назвать "определенным интегралом с переменным верхним пределом",
,
– переменная интегрирования;
он является некоторой функцией верхнего предела,.
Теорема (о дифференцируемости
на
)
Если
непрерывна на
, то
дифференцируема на
, причем
![]()
.
Доказательство. Пусть
,
:
. Тогда
, здесь применено свойство о среднем значении непрерывной на
функции
,
– точка, расположенная между
и
.
Далее рассмотрим отношение
при
, получаем
.
Поскольку
– произвольная точка отрезка
, то
![]()
существует для каждогоиз
, т.е.
– дифференцируемая на
и
.
Замечания. 1. Из представления
следует
непрерывностьв точке
и в силу произвольности точки
– непрерывность
на
.
Можно показать [1], что для непрерывности функции
достаточно потребовать интегрируемость (по Риману) подынтегральной функции
на
.
Геометрические свойства интеграла ФНП
Площадь части криволинейной поверхности
считается с помощью поверхностного интеграла
Некоторые механические приложения интеграла ФНП Масса фигуры (отрезка, дуги, плоской фигуры, части криволинейной поверхности, тела)
Для подынтегральной функции
определенный интеграл с переменным верхним пределом определяет
первообразную на.