Вычисление интеграла ФНП.
Вычисление интеграла 
рассмотрим подробно в зависимости от 
и 
.
Вычисление определенного интеграла основано на следующих утверждениях, имеющих и самостоятельное значение.
Пусть функция
задана на 
, 
. Тогда интеграл 
можно назвать "определенным интегралом с переменным
верхним пределом", , 
– переменная интегрирования;
он является некоторой
функцией верхнего предела, 
.
Теорема (о дифференцируемости на )
Если
непрерывна на , то 
дифференцируема на , причем 
.
Доказательство. Пусть 
, 
: 
. Тогда 
,
здесь применено свойство о среднем значении непрерывной на функции , 
– точка, расположенная между 
и 
.
Далее рассмотрим отношение 
при 
, получаем
.
Поскольку
– произвольная точка отрезка , то 
существует для каждого 
из , т.е. 
– дифференцируемая на и
.
Замечания.
1. Из представления 
следует
непрерывность 
в точке 
и в силу произвольности точки
– непрерывность на .
Можно показать [1], что для непрерывности функции
достаточно потребовать интегрируемость
(по Риману) подынтегральной функции на .
Геометрические свойства интеграла ФНП
Площадь
части криволинейной поверхности 
считается с помощью поверхностного интеграла
Некоторые механические приложения интеграла ФНП Масса фигуры (отрезка, дуги, плоской фигуры, части криволинейной поверхности, тела)
Для
подынтегральной функции определенный интеграл с переменным верхним пределом
определяет
первообразную на .