Система линейных уравнений Векторная алгебра Аналитическая геометрия Математический анализ Пределы

Математический анализ курс лекций и примеры решения задач

Лекция 5

ТЕМА: Построение решений систем линейных уравнений

Пусть задана система линейных уравнений

 (4.1)

Если в заданной системе , то берут любой отличный от нуля минор основной матрицы порядка  и рассматривают  уравнений, коэффициенты которых входят в этот базисный минор, а остальные уравнения отбрасывают. Неизвестные, которые входят в выбранный минор объявляют главными, а остальные неизвестные – свободными. Новую систему переписывают так, что в левых частях уравнений остаются только члены, содержащие  главных неизвестных, а остальные члены уравнений, содержащие  неизвестных, переносятся в правые части уравнений (выражаются через главные), затем находят главные неизвестные (например, по правилу Крамера). При этом главные неизвестные выражаются через свободные, каждое из которых может принимать любое числовое значение.

Полученные решения новой системы с  главными неизвестными называется общим решением системы (4.1).

Придавая свободным неизвестным некоторые числовые значения, из общего решения находят соответствующие значения главных неизвестных и тем самым находят частное решение исходной системы уравнений (4.1).

Пример 4.1

Решить систему линейных уравнений:

, найдем ранг матрицы методом «окаймляющих миноров»:

 Рассмотрим миноры третьего порядка:   ;

 система совместна,

- базисный минор;

x, y – главные переменные,

z – свободная переменная.

 решим систему по правилу Крамера.

,

.

Общим решением исходной системы является бесконечное множество наборов  вида

Частным решением будет, например, числовой набор , получающийся при t=o.

Метод Гаусса

(метод последовательного исключения переменных)

На практике чаще всего применяется метод Гаусса – построения решения систем линейных уравнений.

При исследовании и решении систем линейных уравнений производятся элементарные преобразования строк расширенной матрицы , в результате которых получится ступенчатая расширенная матрица некоторой новой системы, эквивалентной данной:

,  (5.1).

Выберем в матрице  ненулевой минор порядка , т.е. базисный минор (его можно выбрать на пересечении первых  строк и столбцов, с которых начинаются ненулевые элементы строк). Будем считать, что этот минор расположен в левом верхнем углу матрицы

Этот минор является верхнетреугольным и равен произведению .

Нулевые строки матрицы отбросим

(им соответствуют уравнения ).

 (5.2)

(отбросили нулевые столбцы и перенумеровали переменные).

Все элементы базисного минора выше главной диагонали можно сделать равными нулю, а элементы главной диагонали равными единице. Таким образом, исходная система (4.1) приведена к эквивалентной системе:

 (5.3),

или к системе  (5.4)

из которой видно, что если , то система (5.4) имеет единственное решение:

, …, .

Если , то переменные  – базисные,  – свободные и придавая им произвольные значения , …, , можно записать общее решение системы в виде:

 (5.5).

Итак, метод Гаусса состоит в следующем:

расширенную матрицу системы элементарными преобразованиями приводят к ступенчатому виду;

сравнивают ранги основной и расширенной матриц и делают вывод о совместности или несовместности системы;

в случае совместности системы в основной матрице выбирают базисный минор и дальнейшими элементарными преобразованиями строк добиваются того, чтобы в этом миноре все элементы вне главной диагонали стали равными нулю, а элементы главной диагонали стали равными единице;

выписывают систему, соответствующую полученной расширенной матрице, после чего переписывают систему, оставляя базисные неизвестные слева и переведя остальные слагаемые в правую часть;

если ,то в правой части стоят только свободные члены и получено единственное решение;

если , то в правой части есть свободные неизвестные. Придавая им произвольные значения, получаем общее решение по формуле (5.5).

Пример 5.2

 ~   ~  ~    .

Теорема Крамера 5.1

Линейная система (4.2) с квадратной матрицей  имеет решение, притом единственное, тогда и только тогда, когда .

Доказательство

 Пусть система (4.2) имеет и притом единственное решение. Допустим, что . Это значит, что единственный минор -го порядка в основной матрице (который является ее определителем), равен нулю, и потому  (т.е. ранг матрицы меньше числа неизвестных). Но согласно следствию (2) теоремы (4.1) в этом случае система имеет бесконечное множество решений, что противоречит условию. Значит допущенное  неверно, и потому .

 Пусть . Тогда , а так как , то и . Но по теореме (4.1) это означает, что СЛУ (4.2) имеет решение, а так как ранг основной матрицы системы равен числу неизвестных, то в силу следствия (1) теоремы (4.1) это решение единственное.

Нахождение обратной матрицы методом Гаусса

Напомним, что матрица  называется обратной к , если . Обратные матрицы существуют лишь для невырожденных матриц, т.е. . Было показано, что , где  – присоединенная матрица, полученная из алгебраических дополнений, т. е. вычислением определителей -ого порядка. Вместе с тем, операция вычисления определителя, запрограммированная в ЭВМ, требует больших машинных ресурсов. Поэтому более предпочтительным выглядит вычисление обратной матрицы с помощью метода Гаусса.

Для этого воспользуемся определением обратной матрицы      

 

 .

Таким образом, матричное уравнение  эквивалентно системе линейных уравнений, состоящей из  систем, каждая из которых является системой из   переменных и все они имеют одну и ту же основную матрицу системы:

; ; …;

Все эти системы объединим в одной расширенной матрице:

.

Приведение этой матрицы к ступенчатому виду должно обозначать приведение к ступенчатому виду всех расширенных матриц подсистем. Так как     она может быть приведена к следующему виду:

.

Решение каждой из подсистем имеет вид:

, , …,  

матрица , стоящая за вертикальной чертой, является обратной матрицей .

Пример 5.3

 ~   ~  ~   ~  ~ .

Понятие векторного (линейного) пространства Упорядоченная система  чисел , называется -мерным вектором. Каждое число   называется -той координатой (или компонентой) вектора .

Однородная система линейных уравнений (СЛОУ)

Векторная алгебра

Скалярное произведение векторов и его свойства Скалярным произведением двух векторов  и  называется число, равное произведению длин этих векторов на косинус угла между ними

Смешанное произведение векторов Смешанным произведением векторов называется произведение следующего вида: , т.е. вначале вектора  и  перемножаются векторно, а затем результат умножается скалярно на вектор .

В признаке Даламбера исследуются отношения и в случае нужно уточнение этого представления. Предположим, что имеет место уточнение Если , то ряд сходится, а при нельзя сделать определённого вывода; нужно некоторое уточнение. Указанный признак сходимости называется признаком Раабе.
Лекции по математике