Система линейных уравнений Векторная алгебра Аналитическая геометрия Математический анализ Пределы

Математический анализ курс лекций и примеры решения задач

Ряды Фурье для функции с периодом  и 

Рядом Фурье периодической функции  с периодом , определенной на сегменте , называется ряд

 , (1)

где

  (2)

 

  (3)

Если ряд (1) сходится, то его сумма  есть периодическая функция с периодом , т.е. .

Теорема Дирихле. Пусть функция  на сегменте  имеет конечное число экстремумов и является непрерывной за исключением конечного числа точек разрыва 1-го рода (т.е. удовлетворяет так называемым условиям Дирихле). Тогда ряд Фурье этой функции сходится в каждой точке сегмента  и сумма этого ряда   вычисляется:

1)  во всех точках неразрывности , лежащих внутри сегмента ;

2) , где - точка разрыва 1-го рода функции ;

3)   на концах промежутка, т.е. при .

В случае, когда  - четная функция, ее ряд Фурье содержит только свободный член и косинусы, т.е.

  (4)

где

  (5)

В случае, когда  - нечетная функция, ее ряд содержит только синусы, т.е.

   (6)

где 

  (7)

Часто приходится разлагать в тригонометрический ряд функции периода, отличного от . В этом случае, если  - периодическая функция с периодом , для которой выполняются на сегменте  условия Дирихле, то указанная функция может быть представлена в виде суммы ряда Фурье:

  (8) где

  (9)

  (10)

В случае, когда  - четная функция, как (4) – (5), ее ряд Фурье содержит только свободный член и косинусы, т.е.

  (11) где

 . (12)

В случае, когда - нечетная функция, ее ряд Фурье содержит только синусы, т.е.

  (13) где

  (14)

При разложении в ряд Фурье целесообразно придерживаться следующей схемы. Вначале проверяем, что данная функция удовлетворяет условиям Дирихле; затем вычисляем коэффициенты  и  по соответствующим формулам; подставляя их в ряд, получаем искомое разложение; наконец, основываясь на теореме Дирихле, определяем, при каких  полученный ряд сходится к данной функции. Рассмотрим примеры разложения в ряд Фурье периодических функций.

Непрерывность функции двух переменных Функция  называется непрерывной в точке , если она определена в некоторой окрестности этой точки (включая саму точку) и предел функции в этой точке существует, и равен значению функции в этой точке, т.е.  или .

Частные производные Пусть функция  определена в окрестности точки . Зададим переменной   в точке  приращение , оставляя  неизменным, т.е. перейдем к точке , принадлежащей области  (области определения функции).

Неявные функции, условие их существования. Дифференцируемость неявных функций

Частные производные и дифференциалы высших порядков Частные производные по переменным  и в точке  от функций  и в точке М, если они существуют, называются частными производными второго порядка от функции .

Разложить в ряд Фурье функцию периода , заданную на интервале  формулой:  

Разложить в ряд Фурье функцию с периодом , заданную на интервале  формулой  

Ряды Фурье в комплексной форме Пусть  – непериодическая функция, заданная на всей числовой оси. Так как сумма тригонометрического ряда является периодической функцией, то очевидно, что данная непериодическая функция не может быть разложена в ряд Фурье. Но если функция задана на конечном интервале , то для нее можно построить ряд Фурье, который имел бы ее своей суммой на этом интервале.

Разложить в ряд Фурье функцию , заданную на интервале  уравнением . Решение. Рассмотрим два возможных (из бесчисленных) способа разложения этой функции в ряд Фурье на заданном интервале.

Разложить в ряд Фурье функцию , заданную на интервале  уравнением . Решение. В данном случае удобно использовать комплексную форму ряда Фурье.

Если ряд сходится к своей сумме примерно с одинаковой скоростью во всех точках х, то сходимость называется равномерной. Более точно, говорят, что ряд сходится равномерно на области G, если для любого числа существует такое натуральное число , одно и то же для всех точек ,что при n>N выполняется неравенство (или, что тоже самое, , где - остаток ряда после n-го члена).
Лекции по математике