Система линейных уравнений Векторная алгебра Аналитическая геометрия Математический анализ Пределы

Математический анализ курс лекций и примеры решения задач

Бесконечно малые и бесконечно большие функции

Определение 19.3

 – бесконечно малая функция, если .

Свойства бесконечно малых функций

.

. Сумма и произведение конечного числа бесконечно малых функций при  является бесконечно малой функцией при .

. Произведение бесконечно малой функции на ограниченную функцию есть бесконечно малая функция.

Определение 19.4

 – бесконечно большая функция при , если:

.

Замечание 1. Бесконечно большая функция не имеет предела при , но условно говорят:.

Пример 19.2.

. Доказать, что  – бесконечно большая функция.

Замечание 2. Выражения вида  называются неопределенностью.

19.5 Сравнение бесконечно малых и бесконечно больших функций

Рассмотрим функции  и , заданные в проколотой окрестности точки ().

Определение 19.5.

Если , то говорят, что эквивалентна  при  .

Определение 19.6.

Если и  – бесконечно малые (бесконечно большие) функции при   и ,то говорят, что они бесконечно малые (бесконечно большие) функции одного порядка.

Определение 19.7

Если f(x) и g(x) – бесконечно малые (бесконечно большие) функции при   и , то говорят, что – бесконечно малая функция более высокого порядка, чем .

( бесконечно большая функция менее высокого порядка, чем ).

Замечание 3. В случае бесконечно малых функций часто используют символ «о»: .

В примере 19.1.

Теорема 19.6. (замена функций эквивалентными при вычислении пределов)

Пусть  при  и  определена в проколотой окрестности точки а(). Тогда, если существует  и существует , то существуют , и они равны предыдущим.

Доказательство

1). Пусть существует , тогда

.

2) .

Пример 19.3.

Вычислить .

Ограниченные и неограниченные множества

Пример Показать, что последовательность  не имеет предела. Действительно, пусть а – предел xn.

Число е Рассмотрим последовательность {xn} с общим членом .

Односторонние пределы Если у любой сходящейся к точке  последовательности  все ее элементы меньше , а соответствующая последовательность  сходится к , то число  называется левым пределом функции .

Предел функции на бесконечности Число А называется пределом функции f(x) при , если для любой бесконечно большой последовательности соответствующая последовательность сходится к А.

Формальным произведением, или произведение Коши рядов (1) и (2) называется сумма ряда (3) Отметим, что формальное произведение является группировкой некоторой перестановки бесконечной таблицы. Поэтому из предыдущей теоремы и теоремы о группировке сходящегося ряда вытекают следующие утверждения: 1) теорема Коши: если ряд (1) сходится абсолютно к А и ряд (2) сходится абсолютно к В, то ряд (3) сходится к ; 2) теорема Мертенса: если ряд (1) сходится абсолютно к А и ряд (2) сходится к В, то ряд (3) сходится к ; 3) теорема Абеля: если ряд (1) сходится к А и ряд (2) сходится к В, то ряд (3) сходится к .
Лекции по математике