Система линейных уравнений Векторная алгебра Аналитическая геометрия Математический анализ Пределы

Математический анализ курс лекций и примеры решения задач

Математический анализ

Элементы теории множеств

Логические символы

В математике понятия множества первично (не определяется).

Синонимы: совокупность, система, набор, семейство и т.п.

Обозначения: A,B,X,… .

Объекты, из которых состоит множество, называются элементами или точками.

Обозначения: x, y, α, β,… .

Обозначения с помощью логической символики

1)  (из того, что  следует, что )

2)  (α и β эквивалентны, (то есть   и )).

Пример 16.1.

Предложение α: два вектора перпендикулярны.

Предложение β: скалярное произведение двух векторов равно нулю.

3)  

(для любого элемента x из множества X имеет место предложение α)

 – квантор всеобщности.

4)  

(существует элемент x из множества X, для которого имеет место предложение)

 – квантор существования.

5)  – отрицание предложения .

Определение 16.4.

Y подмножество X, если в Y нет элементов, не принадлежащих X или:

(X содержит Y).

Определение 16.5.

X=Y, если множества состоят из одних и тех же элементов:

6)  – пустое множество. Не содержит ни одного элемента.

16.2. Операции над множествами

Определение 16.6.

Множество, каждый элемент которого является элементом множества A или B, называется объединением множеств A и B:

 (логическое сложение).

Определение 16.7.

Множество, каждый элемент которого является элементом множества A и B, называется пересечением множеств A и B:

 (логическое умножение).

Определение 16.8.

Множество, каждый элемент которого является элементом множества A и не является элементом множества B, называется разностью множеств

A и B.

.

Свойства множеств

10 ,  – коммутативность;

20 а)   – ассоциативность;

 б)

30 а) ; б)

40 а)

б)  – дистрибутивность;

Числовые множества

Числовые множества – множества, объектами которых являются числа.

Пример 16.2.

1) ; 2) ; 3) Q; 4) R;

5) ;

6) .

16.3 Окрестности точки х0 как особый вид множества

Пусть x0 ,

тогда  - окрестностью х0 называется интервал:

Число  называется радиусом окрестности.

Заметим: ,

где  – проколотая окрестность точки x0

Очевидно,

Введем понятие бесконечно удаленных точек.

Пусть задано сколь угодно большое число M>0.

Определение 16.9.

Окрестностью элемента + называется множество тех точек x, для которых x>M или:

.

Определение 16.10.

Окрестностью элемента - называется множество тех точек x, для которых x<-M или:

.

Определение 16.11.

Окрестностью элемента  называется множество тех точек x, для которых |x|>M или:

.

Поверхности и линии в пространстве Уравнением поверхности (в фиксированной системе координат) называется такое уравнение с тремя переменными , которому удовлетворяют координаты   любой точки данной поверхности и только они.

Уравнение прямой в пространстве

Некоторые задачи на прямую и плоскость в пространстве Найти угол между прямой и плоскостью.

Сфера Множество точек пространства, равноудаленных от данной точки , называемой центром, называется сферой.

Двуполостный гиперболоид Двуполостным гиперболоидом называется поверхность, которая в прямоугольной системе координат определяется уравнением

Перестановки числовых рядов Биекция называется числовой перестановкой N. Если числовой ряд (1), то ряд вида называется его перестановкой. Пример. называется его перестановкой. Если ряд (1) сходится для любой перестановки и к той же сумме, то он называется безусловно сходящимся. Теорема Римана. Если ряд (1) сходится условно, то и существуют перестановки, для которых представленный ряд расходится.
Лекции по математике